「意味」．．．のない日はほとんどない。
※「．．．のない日はほとんどない」ということは，「．．．の日がほとんど」ということです．
hardlyは「ほとんど～ない」で，notより弱い否定です．
go byは「（時が）過ぎる」なので，Hardly a day goes by without ...は「．．．なしで過ぎる日はほとんどない」という意味になります．
以下のようにhardlyをnotにかえると，否定の意味が強くなって，「ほとんどない」が「ない」に変わります．
Not a day goes by without ...「．．．のない日はない．」
「英語例文」
Hardly a day goes by without my thinking of you.「あなたのことを考えない日はほとんどない。」
